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이름 김장수
소속 성균관대학교
연구분야 수학 직위 부교수
전자메일주소 홈페이지


저의 전공은 갯수를 세는 조합수학(enumerative combinatorics)입니다.

enumerative combinatorics는 말 그대로 이산적인 대상의 갯수를 세는 것에 관심을 갖는 조합수학의 한 분야입니다. 고등학교에서 배우는 "순열과 조합”에서 경우의 수를 구하는 것이 이 분야의 기초적인 부분이라고 보시면 됩니다. 주로 사용하는 도구는 일대일대응과 생성함수가 있습니다. 일대일대응을 통한 방법은 A라는 대상의 개수를 셀 때 이미 알고 있는 B라는 대상과 일대일 대응을 찾는 것을 말합니다. 두 대상 사이에 일대일대응이 있으면 각각의 개수는 같다는 것을 이용하는 것입니다. 이러한 방법을 사용하는 증명을 조합적인 증명이라고 합니다.



일대일 대응은 두 대상간의 조합적인 관계를 이해하는데 많은 도움이 됩니다. 따라서 기존에 달려진 식이라 하더라도 조합적인 증명을 찾는 것이 중요한 문제가 됩니다. 한 예로 Rogers-Ramanujan identity라는 등식이 있는데 이는 다음과 동치입니다. 자연수 n을 5로 나눈 나머지가 1또는 4인 자연수들의 합으로 표시하는 경우의 수와 n을 서로 차이가 2 이상 나는 자연수들의 합으로 표시하는 경우의 수가 같습니다. 예를들면 n=5이면 첫번째 방법으로 하면 1+1+1+1+1와 4+1 두가지가 있고 두번째 방법으로 해도 5와 4+1로 두가지 방법이 있습니다. 간단해 보이지만 이 정리에 대한 만족스러운 조합적인 증명은 아직까지 없습니다.



생성함수는 해석학적인 방법을 사용할 수 있기 때문에 아주 유용합니다. 생성함수의 재미있는 예도 하나 들어 보겠습니다. 순열에서 526143와 같이 이웃한 숫자들의 대소관계가 계속 바뀌는 것을 교차순열(alternating permutation)이라고 합니다. 교차순열의 개수에 대한 지수생성함수는 sec(x)+tan(x)인데 이를 이용하여 탄젠트함수의 덧셈정리를 조합적으로 증명할수 있습니다. 일명 조합적 삼각함수 이론을 전개하는 것이죠. 생성함수들의덧셈, 곱셈, 합성, 미분등에도 조합적인 의미를 부여할 수 있는데 이렇게 하면 미적분학에서 배우는 product rule과 chain rule 등도 조합적으로 설명할 수 있습니다.



조합론은 대수학, 위상수학, 해석학 등의 수학의 다양한 분야에서 자주 등장합니다. 문제를 해결하기 위해 대상을 단순화하다 보면 조합적인 문제로 귀결되는 경우가 많이 있기 때문입니다. 이런 분야간의 연결은 양쪽 분야의 도구들을 모두 사용할 수 있기 때문에 매우 유용합니다. 조합수학은 문제를 쉽게 이해할 수 있기 때문에 공부를 많이 하지 않아도 될 것이라 생각하기 쉬운데 사실은 다른 분야와 연관이 많기 때문에 여러 분야를 많이 알면 할수 있는 일들이 많아집니다.



제가 연구한 부분에서는 정수론, 위상수학, 해석학, 대수학과 관련된 적이 있습니다. 저는 최근 연구에서 어떤조합적인 대상의 개수를 세기 위해 복소함수론에서 배우는 Cauchy integral formula를 사용했습니다. 이처럼 무엇이든 나중에 사용이 가능할 수 있으니 알고있으면 도움이 될 것입니다. 그렇다고 학부때 제대로 공부하지 않은 것들을 이제와 서다시 복습할 필요는 없습니다. 필요할 때마다 찾아보고 사용할 수 있으면 충분합니다.



제가 조합론에 관심을 갖게 된 계기는 고등학교 때 카이스트 학부생 수학동아리인 수학문제 연구회에서 발행하는 Math Letter를 본 것입니다. 그것은 당시 학부생이었던 인하대 신희성 교수님이 쓰신 글이었습니다. 이항계수들이 들어간 식을 조합적으로 증명하는 글이었는데 수식계산을 하지 않고 조합적인 설명만으로 식을 간단하게 증명하는 것이 매우 신기하게 느껴졌습니다. 그후 카이스트 대학원에 입학한 후 첫 학기에 조합론 수업을 김동수 교수님께 들었는데 재미있게 할수 있을 것 같아 조합론을 전공하기로 마음 먹게 되었습니다. 전공을 정할때 어떤 분야가 전망 좋은지따져보는 것도 좋지만 본인이 흥미있게 할수 있는 분야를 선택하는 것이 더 좋다고 생각합니다.



연구 중 기억에 남는 에피소드는 미네소타 대학교에서 포닥을 하던중 제 지도교수님의 지도교수님이신 Stanton 교수님과의 공동연구에 관한 것입니다. Askey-Wilson 다항식에 관련된 적분식을 조합적으로 계산하는 것이 문제였는데 해결이잘 되지 않아 한참 진전이 없었습니다. 그러던중 김동수 교수님이 쓰셨던 관련 논문을 읽게 되었는데 그 논문의 아이디어가 매우 참신했고 저는 막혀있던 문제에 적용할 수 있도록 확장이 된다는 것을 깨달았습니다. 그렇게 문제를 해결하고 보니 재미있는 것이 있었습니다. Askey-Wilson 다항식의 Askey 교수님은 Stanton 교수님의 지도교수였기 때문에 4대가 모두 연결되는 논문을 쓰게 되었던 것이죠. 한마디로 하면 저는 지도교수님의 아이디어를 이용하여 지도교수님의 지도교수님과 지도교수님의 지도교수님의 지도교수님의 이름이 붙은 다항식에 관한 연구를 했던 것입니다.



요즘은 혼자서 할수 있는 일이 별로 없습니다. 현대사회는 고도로 발달된 사회이고 정보의 흐름이 매우 빠릅니다. 연구를 할 때도 협력을 통한 공동연구가 많습니다. 협력을 하려면 사람들과의 관계가 중요하며 의사소통능력을 길러야 합니다. 외국인과교류해야 할 일도 많이 있을 것입니다. 영어로 자신의 의견을 이야기할 수 있도록 연
습하세요. 잘 못하더라도 계속 시도하다보면 조금씩 나아질 것입니다. 준비하는데 너무 시간을 많이 쓸 필요가 없습니다. 준비가 안되었으니 "더 준비하고 나서 해야지"라는 생각으로는 아무 것도 시작할수가 없습니다. 누구도 완벽하게 준비할수는없습니다. 부족한 상황에서 시작하는 것을 두려워하지 마세요. 부족하니까 시도해보고 아니면 다른 방식으로 다시 해 보는 것입니다. 사람들과의 의사소통은 별게 아니라 자신의 생각을 다른사람에게 이해시키는 것입니다. 상대방이 이해하지 못하면다른 방식으로 설명해보고 서로 맞추어 가는 것입니다. 상대방이 말을 했을때 한번에 이해 못한 것을 부끄럽게 생각할 필요가 없습니다. 못알아 들었으면 다시 물어보면 됩니다. 서로를 존중하는 마음을 갖고 문제에 대해 진지하게 의견을 주고 받다보면 많은 것을 얻을 수 있을 것입니다.


콜로퀴움이나 세미나, 학회등 대학원 생활을 하다보면 다른사람의 발표를 들을 기회가 많습니다. 발표를 들을 땐 발표자가 무슨 아이디어를 말하려는 것인지 집중해서들으려고 노력하세요. 쉽지 않을 것입니다. 하지만 남의 발표를 듣고 이해하는 능력은 아주 중요한 기술이며 이 기술은 노력으로 키울 수 있습니다. 저는 사실 다른 사
람의 발표나 강의를 잘 이해하지 못했습니다. 조금 듣다가 잘 이해가 안되면 포기하고 혼자만의 생각에 잠겨서 시간을 보내곤 했습니다.



올해부터 성균관대 수학과 콜로퀴움을 운영을 맡게 되었는데 연사를 소개하고 발표가  끝나면 질문이 있는지 물어보는 일을 합니다. 만약 발표 후에 아무런 질문이 없으면 운영자인 저라도 질문을 해야겠다는 생각에 질문을 하기위해 강연에 집중하게 되었습니다. 그러다보니 강연을 전보다 더 잘 이해하는 것 같다는 느낌이 들었습니다. 다른 학회나 세미나에서도 집중할 수 있게 되었고 질문도 자주 하려고 노력합니다. 발표자의 일방적인 설명만 듣
고는 내용을 이해하기가 쉽지 않습니다. 자기가 아주 잘 알고 있는 분야가 아니라면 특히 더 어렵죠. 여러분들도 세미나가 끝나면 하나의 질문을 해야한다고 생각하고 집중해서 들어보세요. 실제로 질문을 하면 더욱 좋습니다. 그렇게 조금씩 집중해서 듣는 연습을 하다보면 발표를 듣고 이해하는 능력이 향상될 것입니다.



수학에는 왕도가 없다고 합니다. 수학을 잘하려면 실제로 문제에 부딪혀 스스로의힘으로 직접 풀어봐야 하기 때문에 나온 말이겠지요. 하지만 저는 수학에도 왕도가 있다고 생각합니다. 적어도 수학을 공부하는데 있어서 더 효율적인 방법이 있다고 생각합니다. 가장 비효율적인 방법은 책이나 논문을 읽는 것입니다. 그것보다 조금 더 효율적인 것은 다른사람의 발표를 듣는 것이고 가장 효율적인 것은 전문가와 일대일로 대화하면서 배우는 것입니다.



요즘은 하루에도 논문이 엄청나게 쏟아져 나옵니다. 새로운 것들을 계속 배워나가려면 효율적인 방법이 필요합니다. 그러기 위해서는 사람들과 대화하는 방법을 배워야 합니다. 물론 책과 다른 사람의 논문만 읽고도 새로운 수학을 배우는 것이 가능하지만 쉽게 지칠 것입니다. 더 효율적인 방법을 원한다면 사람을 통해 배우세요. 그것은 더 효율적인 방법일 뿐만아니라 더 즐겁기까지 합니다. 사람은 사회적 동물이라고 하죠. 우리 DNA에는 다른 사람들과 이야기하고 함께 있다는 것을 느낄때 행복하도록 설계 되었다고 합니다. 수학의 아름다움을 다른 사람들과 공유하는 즐거움을 느껴보세요. 동호인들이 같은 취미를 공유하며 더욱 친밀해 지듯이 수학동료들과 함께 수학을 즐기는 재미를 공유하시면 여러분들의 수학 연구는 더욱 즐거워질 것입니다.



저에게 있어 수학이란 스포츠라고 하겠습니다. 연습을 통해 누구나 즐길 수 있는 것,룰을 배우고 그 안에서 마음껏 즐기는 스포츠입니다. 새로운 스포츠를 개발하여 즐길수도 있고 다른 사람들과 협력할 수도 있습니다. 사람과 사람이 경쟁하는 스포츠가 아니 암벽등반, 등산과 같이 거대한 대자연과 경쟁하는 스포츠입니다. 에베레스트 산을 등산하여 정상에 오르는 것, 온갖 어려움을 극복하고 정상에 오르는 성취감은 경험해보지 못한 사람은 모를 것입니다. 산을 오르는 것과 수학을 하는 것의 공통점이 또 하나 있네요. "그걸 왜 하세요?"라는 질문을 받는다는 것입니다. 다른 사람들에게는 중요한 질문이겠지만 수학자나 등산가에게는 이런 질문이 중요하지 않은 경우가 많을 것입니다. 어느 등산가가 이 질문에 다음과 같이 답했다고 합니다. "산이 거기에 있으니까 오릅니다”라고요. 수학을 하는 이유도 마찬가지라고 생각합니다. 문제가 거기에 있기 때문입니다. 그곳에 우뚝서서 온갖 장애물을 뚫고 올라와 이아름다움을 느끼라고 유혹하는 그 산봉우리를 보고 어떻게 오르지 않을수 있을까요? 그런 아름다운 산봉우리들이 넘쳐나는 수학의 세계에 살고 있는 수학자들은 오늘도 장애물을 통과하기 위해 분투하고 있습니다.



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